Задачи для самостоятельного решения. Теория вероятностей методичка

, Уголовно-процессуальный кодекс Российской Федерации от 18.1.rtf , Основы законодательства Российской Федерации об охране здоровья , ЕСПЧ. Правовой механизм подачи индивидуальной жалобы и правовые .

Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.

14.1. Краткая теоретическая часть

Вероятность суммы двух событий определяется по формуле

P(A +В ) = Р(A )+Р(B ) - Р(AB ),

которая обобщается на сумму любого числа событий

Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. .

24.2. Тест

1. 
   В каком случае события А и В называются несовместными или несовместимыми?

а) Когда вероятность появления одного из них не зависит от вероятности появления второго

б) Когда хотя бы одно из этих событий произойдет в ходе испытания

в) Когда совместное появление этих событий невозможно

г) Когда оба этих события произойдут в ходе опыта

1. 
   Укажите события, которые являются совместимыми.

а) Выпадение «герба» и цифры при подбрасывании монеты

б) Присутствие одного и того же студента одновременно на лекции в аудитории и в кинотеатре

в) Наступление весны по календарю и выпадение снега

г) Появление на выпавшей грани каждой из двух игральных костей трех очков и равенство суммы очков на выпавших гранях обеих костей нечетному числу

д) Показ по одному каналу телевидения футбольного матча, а по другому – выпуска новостей

1. 
   Теорема сложения вероятностей несовместных событий формулируется следующим образом:

а) Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна вероятности появления второго события

б) Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

в) Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна разности вероятностей появления этих событий

1. 
   Теорема сложения вероятностей совместных событий формулируется следующим образом:

а) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий

б) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

в) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий и вероятности их совместного появления

1. 
   Теорема сложения вероятностей обобщается на сумму любого числа событий и вероятность суммы событий в общем виде вычисляется по формуле:

а)

1. 
   Если события, являются несовместными, то вероятность суммы этих событий равна:

а)

б)
в)

34.3. Решение типовых задач

Пример 4.1. Определить вероятность того , что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных , будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из пятидесяти.
Решение.

С , состоящее в том, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что при испытании не получено ни одного бракованного изделия, а через В - событие, состоящее в том, что получено только одно бракованное изделие.

Так как С=А+В, то искомая вероятность P(C) = Р(А +B ).

События А и В несовместны. Поэтому P(C) = Р(А )+ Р(B ).

Из 100 изделий 50 можно выбрать способами. Из 95 небракованных изделий 50 можно выбрать способами.

Поэтому Р(A )=.

Аналогично Р(B )= .

P(C) = Р(А )+ Р(B )=+==0,181.
Пример 4.2. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме, приведенной на рис. 5.

Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности (табл. 1).

Таблица 1

ЭлементK 1 K 2 Л 1 Л 2 Л 3 Вероятность0,60,50,40,70,9Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.
Решение.
Введем в рассмотрение событие С , состоящее в том, что за указанный промежуток времени будет разрыв цепи.

Обозначим через A j (j = 1,2) событие, состоящее в выходе из строя элемента К j , через А - выход из строя хотя бы одного элемента К j , а через В - выход из строя всех трех элементов А i (i =1, 2, 3).

Тогда искомая вероятность

Р(С ) = Р(A + В ) = Р(A ) + Р(В ) - Р(A )Р(B ).

Р(A ) = Р(A 1 ) + Р(A 2 ) - Р(A 1 )Р(A 2 ) = 0,8,

Р(В ) = Р(Л 1 )Р(Л 2 ) Р(Л 3 ) = 0,252,

то.
Пример 4.3. В урне имеются n белых, m черных и l красных шаров, которые извлекаются наудачу по одному:

а) без возвращения;

б) с возвращением после каждого извлечения.

Определить в обоих случаях вероятности того, что белый шар будет извлечен раньше черного.
Решение.

Пусть Р 1 - вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного , а Р 11 - вероятность того, что черный шар будет извлечен раньше белого.

Вероятность Р 1 является суммой вероятностей извлечения белого шара сразу, после извлечения одного красного, двух красных и т. д. Таким образом, можно записать в случае, когда шары не возвращаются,

а при возвращении шаров

Для получения вероятностей Р 11 в предыдущих формулах нужно произвести замену n на m , а m на n . Отсюда следует, что в обоих случаях Р 1 :Р 11 = n :m . Так как, кроме того, Р 1 +Р 11 = 1, то искомая вероятность при извлечении шаров без возвращения также равна.
Пример 4.4. Некто написал n писем, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.
Решение.

Пусть событие A k состоит в том, что на k -м конверте написан правильный адрес (k = l, 2,..., n ).

Искомая вероятность.

События A k совместны; при любых различных k , j , i , ... имеют место равенства:

Используя формулу для вероятности суммы n событий, получаем

При больших n .

44.4. Задачи для самостоятельной работы

4.1. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,012, 0,010, 0,006 и 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

(Ответ : p = 0,03)
4.2. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20, 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень.

(Ответ : p = 0,55)
4.3. Две одинаковые монеты радиуса r расположены внутри круга радиуса R , в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.

(Ответ : p =)
4.4. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама или король)?

(Ответ : p =)
4.5. В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся шесть монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более одного рубля?

(Ответ : p =)
4.6. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

(Ответ : p = 0,323)
4.7. Игра между A и B ведется на следующих условиях: в результате первого хода , который всегда делает А , он может выиграть с вероятностью 0,3; если первым ходом A не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает, то A делает второй ход, который может привести к его выигрышу с вероятностью 0,4. Определить вероятности выигрыша для А и для В .

(Ответ : = 0,44, = 0,35)
4.8. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна р . Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

(Ответ : p(А) =)
4.9. Из урны, содержащей n шаров с номерами от 1 до n , последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет извлечен при втором извлечении.

(Ответ : p =)
4.10. Игрок А поочередно играет с игроками В и С , имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,25, и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранных с каждым игроком. Определить вероятности выигрыша В и С .

(Ответ : )
4.11. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

(Ответ : )
4.12. Вероятность получить очко, не теряя подачи, при игре двух равносильных волейбольных команд равна половине. Определить вероятность получения одного очка для подающей команды.

(Ответ : p =)
4.13. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, а для второго равна 0,3. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

(Ответ : p = 0,455)
4.14. Двое играют до победы, причем для этого необходимо первому выиграть т партий, а второму п партий. Вероятность выигрыша каждой партии первым игроком равна р , а вторым q =1-р . Определить вероятность выигрыша всей игры первым игроком.

(Ответ : p(A) =)

4.1. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,012, 0,010, 0,006 и 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

(Ответ: p = 0,03)

4.2. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны 0,20, 0,15 и 0,10. Определить вероятность непопадания в мишень.

(Ответ: p = 0,55)

4.3. Две одинаковые монеты радиуса r расположены внутри круга радиуса R, в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.

(Ответ: p = )

4.4. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама или король)?

(Ответ: p = )

4.5. В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся шесть монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более одного рубля?

(Ответ: p = )

4.6. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

(Ответ: p = 0,323)

4.7. Игра между A и B ведется на следующих условиях: в результате первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 0,3; если первым ходом A не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает, то A делает второй ход, который может привести к его выигрышу с вероятностью 0,4. Определить вероятности выигрыша для А и для В.

(Ответ: = 0,44, = 0,35)

4.8. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна р. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

(Ответ: p(А) = )

4.9. Из урны, содержащей n шаров с номерами от 1 до n, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет извлечен при втором извлечении.

(Ответ: p = )

4.10. Игрок А поочередно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,25, и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранных с каждым игроком. Определить вероятности выигрыша В и С.

4.11. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

(Ответ: )

4.12. Вероятность получить очко, не теряя подачи, при игре двух равносильных волейбольных команд равна половине. Определить вероятность получения одного очка для подающей команды.

(Ответ: p = )

4.13. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,2, а для второго равна 0,3. Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй.

(Ответ: p = 0,455)

4.14. Двое играют до победы, причем для этого необходимо первому выиграть т партий, а второму п партий. Вероятность выигрыша каждой партии первым игроком равна р, а вторым q=1-р. Определить вероятность выигрыша всей игры первым игроком.

1. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

2. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что один шар белый, а другой черный?

3. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

4. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель; в цель попадет хотя бы один стрелок.

5. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу три шара. Какова вероятность того, что все шары белые?

6. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.

7. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

8. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7, При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали перво­сортные.

9. Работа прибора прекратилась вследствие выхода из строя одной лампы из пяти. Отыскание этой лампы производится путем поочередной замены каждой лампы новой. Определить вероятность того, что придется проверять 2 лампы, если вероятность выхода из строя каждой лампы равна р=0,2.

10. На участке АВ для мотоциклиста-гонщика имеются 12 препятствий, вероятность остановки на каждом из которых равна 0,1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки, равна 0,7. Определить вероятность того, что на участке АС не будет ни одной остановки.

11. На пути автомобиля 4 светофора. Вероятность остановиться на первых двух 0,3, а на последующих двух 0,4. Какая вероятность проехать светофоры без остановок?

12. На пути автомобиля 3 светофора. Вероятность остановиться на первых двух 0,4, а на третьем 0,5. Какая вероятность проехать светофоры с одной остановкой?

13. Два сервера сети в Интернет подвергаются опасности вирусной атаки за сутки с вероятностью 0,3. Какая вероятность, что за 2 суток на них не было ни одной атаки?

14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для дан­ного стрелка равна 2/3, Если при первом выстреле зафик­сировано попадание, то стрелок получает право на второй. Если при втором он вновь попадет, то стреляет третий раз. Какая вероятность попасть при трех выстрелах?

15. Игра между А и В ведется на следующих условиях: в результате первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 0,3; если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероят­ностью 0,5; если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести к его выигрышу с вероятностью 0,4. Определить вероятности выигрыша для А и для В.

16. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 0,2. Опреде­лить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улуч­шит свой результат, если разрешается делать две попытки.

17. Игрок А поочередно играет по две партии с игро­ками В и С. Вероятности выигрыша первой партии для В и С равны 0,1 и 0,2 соответственно; вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3, для С равна 0,4. Определить вероятность того, что: а) первым выиграет В; б) первым выиграет С.

18. Из урны, содержащей п шаров с номерами от 1 до n , последовательно извлекаются два шара, причем первый возвращается, если его номер не равен единице. Опре­делить вероятность того, что шар с номером 2 будет извле­чен при втором извлечении.

19. Игрок А поочередно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,25, и прекращает игру после первого выигрыша или после двух партий, проигранных с любому из игроков. Определить вероятности выигрыша В и С.

20. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у. которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

21. В урне имеются 8белых и 6черных шаров. Два игрока последовательно достают по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до тех пор, покакто-нибудь из них не достанет белый шар. Определить вероятность того, что первым вытащит белый шар игрок, начинающий игру.

22. Послан курьер за документами в 4 архива. Вероятность наличия нужных документа в I-oм архиве – 0,9 ; во II-ом – 0,95; в III-ем – 0,8 ; в IV – ом – 0,6. Найти вероятность Р отсутствия документа только в одном архиве.

23. Найти вероятность того, что откажут два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства, если вероятность отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,3, 0,5, 0,4.

24. В клетке 8 белых и 4 серые мыши. Для лабораторного исследования случайно отбирают трех мышей, не возвращая обратно. Найти вероятность того, что все три мыши белые.

25. В клетке 8 морских свинок. Три из них страдают нарушением обмена минеральных солей. Последовательно без возвращения достают трех животных. Какова вероятность, что они здоровы?

26. В пруду содержатся 12 карасей, 18 лещей и 10 карпов. Выловили три рыбы. Найти вероятность того, что выловили последовательно двух карпов и карася.

27. В стаде 12 коров, из них 4 – симментальской породы, остальные – галштино-фризтской породы. Для селекционной работы отобрали трех животных. Найти вероятность того, что среди них все три симментальской породы.

28. На ипподроме содержатся 10 гнедых лошадей, 3 – серых в яблоко и 7 белых. Для забега случайным образом отобраны 2 лошади. Какова вероятность того, что среди них нет белой лошади?

29. В питомнике содержатся 9 собак, из них 3 колли, 2 боксера, остальные – доги. Случайным образом отбирают трех собак. Какова вероятность того, что среди них хотя бы один боксер?

30. Средний приплод животных равен 4. Появление особей женского и мужского пола равновероятно. Найти вероятность того, что в приплоде две особи мужского пола.

31. В пакете находятся семена, всхожесть которых равна 0,85. Вероятность того, что растение зацветет, равна 0,9. Какова вероятность того, что растение, выросшее из наугад взятого семени, зацветет?

32. В пакете находятся семена бобов, всхожесть которых равна 0,9. Вероятность того, что цветы бобов будут красного цвета, равна 0,3. Какова вероятность того, что растение из выбранного наугад семени будет иметь красные цветы?

33. Вероятность того, что случайно выбранный человек в течение следующего месяца попадет в больницу, равна 0,01. Какова вероятность того, что из трех случайно выбранных на улице людей в течение следующего месяца в точности один будет положен в больницу?

34. Доярка обслуживает 4 коровы. Вероятность заболеть маститом в течение месяца для первой коровы равна 0,1, для второй – 0,2, для третьей – 0,2, для четвертой 0,15. Найти вероятность того, что в течение месяца хотя бы одна корова заболеет маститом.

35. Четыре охотника договорились стрелять по дичи по очереди. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковы и равны 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено три выстрела.

36. Студент изучает химию, математику и биологию. Он оценивает, что вероятности получить «отлично» по этим курсам равны соответственно 0,5, 0,3 и 0,4. В предположении, что оценки по этим курсам независимы, найти вероятность того, что он не получит ни одной оценки «отлично».

37. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает все три вопроса программы, предложенные ему экзаменатором?

38. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель первым и вторым охотником равны соответственно 0,7 и 0,8. Какова вероятность попадания в волка хотя бы при одном выстреле?

39. Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя бы один раз для некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

40. Из стада отбирают высокопродуктивных коров. Вероятность того, что случайно отобранное животное окажется высокопродуктивным, равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех отобранных коров только две будут высокопродуктивными.

41. В первой клетке 3 белых и 4 серых кролика, во второй клетке 7 белых и 5 черных кроликов. Из каждой клетки наудачу взяли по одному кролику. Какова вероятность того, что оба кролика белые?

42. Изучалась эффективность двух вакцин на группе животных. Обе вакцины могут вызвать аллергию у животных с равными вероятностями 0,2. Найти вероятность того, что вакцины не вызовут аллергию.

43. В семье трое детей. Принимая события, состоящие в рождении мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье все дети одного пола.

44. Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый снежный покров с октября установится, по крайней мере, один раз.

45. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции являются браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

46. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно 0,7 и 0,8 , производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

47. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

48. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

49. Разрыв электрической цепи может произойти при выходе из строя элемента или двух элементов и , которые выходят из строя независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,2. Определить вероятность разрыва электрической цепи.

50. Работа прибора прекратилась вследствие выхода из строя одной лампы из 10-ти. Отыскание этой лампы производится путем поочередной замены каждой лампы новой. Определить вероятность того, что придется проверить 7 ламп, если вероятность выхода из строя каждой лампы равна 0,1.

51. Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превысит номинальное значение, равна 0,3. При повышенном напряжении вероятность аварии прибора - потребителя электрического тока равна 0,8. Определить вероятность аварии прибора вследствие повышения напряжения.

52. Вероятность попадания в первую мишень для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить вероятность поражения второй мишени.

53. С помощью шести карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв образуется слово «ракета»?

54. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.

55. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями 0,012; 0,010; 0,006 и 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

56. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называется валет, дама или король)?

57. В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся 6 монет. Какова вероятность, что в сумме они составят не более одного рубля?

58. В двух урнах находятся шары: в первой 5 белых, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

59. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 0,4. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

Вариант 9

1. На каждой из 6 одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: о, г, о, р, о, д. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что, расположив их в ряд, можно будет прочесть слово «огород».

2. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с 1 попытки равна 0,6. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать 2 попытки.

3. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором - 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика - стандартная.

4. Решить задачи, используя формулу Бернулли и теоремы Муавра-Лапласа: а) при передаче сообщения вероятность искажения 1 знака равна 0,24. Определить вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит не более 3 искажений;

б) было посажено 400 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется, равна 0,8. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев: 1) равно 300; 2) больше 310, но меньше 330.

5. По табличным данным вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, а также определить вероятность того, что случайная величина примет значение больше ожидаемого.

Х i
Р i

6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти: а) параметр k ; б) математическое ожидание; в) дисперсию.

7. Социологическая организация проводит опрос работников предприятия с целью выяснения отношения к структурной реорганизации, проведенной руководством предприятия. Считая, что доля людей, удовлетворенных структурными преобразованиями, описывается нормальным законом распределения с параметрами a = 53,1 % и σ = 3,9 %, найти вероятность того, что доля людей, удовлетворенных преобразованиями, будет ниже 50 %.

8. Из генеральной совокупности извлечена выборка, которая представлена в виде интервального вариационного ряда (см. таблицу): а) предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, построить доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью γ = 0,95; б) вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя упрощенный метод, и сделать соответствующие предположения о виде функции распределения генеральной совокупности; в) используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

29-32
32-35
35-38
38-41
41-44
44-47
47-50

9. Задана корреляционная таблица величин X и Y: а) вычислить коэффициент корреляции r xy , сделать выводы о связи между X и Y; б) найти уравнения линейной регрессии X на Y и Y на X, а также построить их графики.

	5.24-5.35	5.35-5.46	5.46-5.47	5.47-5.68	5.68-5.79	5.79-5.90	5.90-6.01	6.01-6.12	6.12-6.23
21.3-22.0
22.0-22.7
22.7-23.4
23.4-24.1
24.1-24.8
24.8-25.5
25.5-26.2
26.2-26.9