Sąlyginė tikimybė ir paprasčiausios pagrindinės formulės. Sąlyginė tikimybė, įvykių nepriklausomybė Sąlyginės tikimybės žymėjimas
Leisti būti BET ir AT yra du šiame teste nagrinėjami įvykiai. Šiuo atveju vieno iš įvykių įvykis gali turėti įtakos kito įvykio galimybei. Pavyzdžiui, įvykio įvykis BET gali turėti įtakos įvykiui AT arba atvirkščiai. Siekiant atsižvelgti į tokią vienų įvykių priklausomybę nuo kitų, įvedama sąlyginės tikimybės sąvoka.
Apibrėžimas. Jei įvykio tikimybė AT yra su sąlyga, kad įvykis BET atsitiko, tada gaunama įvykio tikimybė AT paskambino sąlyginė tikimybėįvykius AT. Tokiai sąlyginei tikimybei pažymėti naudojami šie simboliai: R BET ( AT) arba R(AT / BET).
2 pastaba. Priešingai nei sąlyginė tikimybė, atsižvelgiama ir į „besąlyginę“ tikimybę, kai yra kokios nors sąlygos tam tikram įvykiui įvykti AT dingęs.
Pavyzdys. Urnoje yra 5 rutuliukai, iš kurių 3 raudoni ir 2 mėlyni. Savo ruožtu iš jo ištraukiamas vienas rutulys su grąža ir be grąžos. Raskite sąlyginę tikimybę antrą kartą nupiešti raudoną rutulį, jei pirmą kartą paimtas: a) raudonas rutulys; b) mėlynas rutulys.
Tegul renginys BET pirmą kartą piešia raudoną rutulį ir įvykis AT– raudono kamuoliuko ištraukimas antrą kartą. Tai akivaizdu R(BET) = 3/5; tada tuo atveju, kai pirmą kartą išimtas kamuolys grąžinamas į urną, R(AT)=3/5. Tuo atveju, kai ištrauktas rutulys negrąžinamas, tikimybė ištraukti raudoną rutulį R(AT) priklauso nuo to, kuris rutulys buvo ištrauktas pirmą kartą – raudonas (įvykis BET) arba mėlyna (įvykis). Tada pirmuoju atveju R BET ( AT) = 2/4, o antrajame ( AT) = 3 / 4.
Įvykių, kurių viena įvyksta esant kito sąlygai, tikimybių daugybos teorema
Dviejų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe, nustatyta darant prielaidą, kad įvyko pirmasis įvykis:
R(A∙ B) = R(BET) ∙ R BET ( AT) . (1.7)
Įrodymas. Tikrai, tegul n- bendras vienodai tikėtinų ir nesuderinamų (paprastų) testo rezultatų skaičius. Paleisk n 1 – įvykiui palankių rezultatų skaičius BET, kuris atsiranda pradžioje, ir m– įvykių, kurių metu įvyko įvykis, skaičius AT darant prielaidą, kad įvykis BET Atėjo. Taigi, m yra įvykiui palankių rezultatų skaičius AT. Tada mes gauname:
Tie. kelių įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš šių įvykių tikimybės sandaugai su sąlyginėmis kitų tikimybėmis, o kiekvieno vėlesnio įvykio sąlyginė tikimybė apskaičiuojama darant prielaidą, kad įvyko visi ankstesni įvykiai.
Pavyzdys. 10 sportininkų komandoje yra 4 sporto meistrai. Burtų būdu iš komandos atrenkami 3 sportininkai. Kokia tikimybė, kad visi atrinkti sportininkai yra sporto meistrai?
Sprendimas. Problemą sumažinkime iki „urnos“ modelio, t.y. Tarkime, kad urnoje, kurioje yra 10 rutulių, yra 4 raudoni rutuliai ir 6 balti. Iš šios urnos atsitiktine tvarka ištraukiami 3 rutuliai (pasirinkta S= 3). Tegul renginys BET susideda iš 3 rutulių ištraukimo. Uždavinį galima išspręsti dviem būdais: pagal klasikinę schemą ir pagal (1.9) formulę.
Pirmasis metodas, pagrįstas kombinatorikos formule:
Antrasis metodas (pagal (1.9) formulę). Iš urnos paeiliui ištraukiami 3 rutuliai be pakeitimo. Leisti būti BET 1 - pirmasis ištrauktas rutulys yra raudonas, BET 2 - antras ištrauktas rutulys yra raudonas, BET 3 – trečias ištrauktas rutulys yra raudonas. Tegul ir renginys BET reiškia, kad visi 3 ištraukti kamuoliukai yra raudoni. Tada: BET = BET 1 ∙ (BET 2 / BET 1) ∙ BET 3 / (BET 1 ∙ BET 2), t.y.
Pavyzdys. Leiskite iš kortelių rinkinio a, a, r, b, o, t kortelės traukiamos po vieną. Kokia tikimybė gauti žodį " Darbas“, kai nuosekliai sulenkiate juos į vieną eilutę iš kairės į dešinę?
Leisti būti AT- įvykis, kurio metu buvo gautas deklaruojamas žodis. Tada pagal formulę (1.9) gauname:
R(AT) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.
Tikimybių daugybos teorema įgyja paprasčiausią formą, kai sandaugą sudaro vienas nuo kito nepriklausomi įvykiai.
Apibrėžimas. Renginys AT paskambino nepriklausomas iš renginio BET jei jo tikimybė nekinta nepriklausomai nuo to, ar įvykis įvyko BET arba ne. Du įvykiai vadinami nepriklausomais (priklausomais), jei vieno iš jų įvykimas nekeičia (nekeičia) kito įvykio tikimybės. Taigi nepriklausomiems renginiams p(B/A) = R(AT) arba = R(AT) ir priklausomiems įvykiams R(AT/A)
Jau minėjome, kad įvykio tikimybės apibrėžimas grindžiamas tam tikra sąlygų visuma. Jei skaičiuojant tikimybę nenustatyti jokie apribojimai, išskyrus sąlygas, tada tokios tikimybės vadinamos besąlyginėmis.
Tačiau kai kuriais atvejais reikia rasti įvykių tikimybes esant papildomai sąlygai, kad įvyko koks nors įvykis B, kurio tikimybė yra ne nulinė, t.y. Šios tikimybės bus vadinamos sąlyginėmis ir pažymėtos simboliu; tai reiškia įvykio A tikimybę, atsižvelgiant į tai, kad įvykis B įvyko.
1 pavyzdys. Mesti du kauliukai. Kokia tikimybė, kad jų taškų suma lygi 8 (įvykis A), jei žinoma, kad ši suma yra lyginis skaičius (įvykis B)?
Visus galimus atvejus, kurie gali atsirasti metant du kauliukus, surašysime į 1.7.1 lentelę, kurios kiekvienoje langelyje yra galimo įvykio įrašas: pirmoje vietoje skliausteliuose yra taškų, kritusių ant pirmo kauliuko, skaičius. , antroje vietoje – antruoju kauliuku nukritęs taškų skaičius.
Bendras galimų atvejų skaičius yra 36, palankumo įvykiui A yra 5. Taigi besąlyginė tikimybė.
Jei įvykis B įvyko, tada įvyko viena iš 18 (ne 36) galimybių, todėl sąlyginė tikimybė yra lygi.
2 pavyzdys. Iš kortų kaladės paeiliui ištraukiamos dvi kortos. Raskite: a) besąlyginę tikimybę, kad antroji korta bus tūzas (nežinoma, kuri korta buvo ištraukta pirmoji), ir b) sąlyginę tikimybę, kad antroji korta bus tūzas, jei iš pradžių buvo ištrauktas tūzas.
Žymėkite A įvykį, kai antroje vietoje pasirodo tūzas, o B pažymėkite įvykį, kai pirmoje vietoje atsiranda tūzas. Aišku, kad yra lygybė.
Dėl įvykių AB ir AB nesuderinamumo turime:
Išimant dvi kortas iš 36 kortų kaladės, gali atsirasti 36 * 35 (atsižvelgiant į eilę!) atvejai. Iš jų palankūs įvykiui AB - 4 * 3 atvejai, o įvykiui - 32 * 4 atvejai. Taigi,
Jei pirmoji korta yra tūzas, tai kaladėje liko 35 kortos, o tarp jų tik trys tūzai. Vadinasi,.
Bendras sąlyginės tikimybės radimo uždavinio sprendimas klasikiniam tikimybės apibrėžimui nėra sunkus. Iš tiesų, ištraukus iš n vienareikšmiškai galimų, nesuderinamų ir vienodai tikėtinų įvykių, įvykis A yra palankesnis m įvykių. Jei įvyko įvykis B, tai reiškia, kad įvyko vienas iš įvykių, palankių B. Esant šiai sąlygai įvykiui A palankus r ir tik r įvykių Aj, palankus AB. Taigi,
Panašiai galima daryti išvadą, kad
Aišku, kad
y., dviejų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš šių įvykių tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe, su sąlyga, kad įvyko pirmasis.
Daugybos teorema taikytina ir tuo atveju, kai vienas iš įvykių A arba B yra neįmanomas įvykis, nes šiuo atveju lygybės ir vyksta kartu su.
Sąlyginė tikimybė turi visas tikimybės savybes. Tai lengva patikrinti patikrinus, ar jis atitinka visas ankstesniuose skyriuose suformuluotas savybes. Iš tiesų, pirmoji savybė galioja akivaizdžiai, nes kiekvienam įvykiui A yra apibrėžta neneigiama funkcija. Jei tada
Trečiosios savybės patikrinimas taip pat nėra sunkus, o jį įgyvendinti paliekame skaitytojui.
Atkreipkite dėmesį, kad sąlyginių tikimybių tikimybių erdvę suteikia šis trigubas.
Apibrėžimas 1. Sakoma, kad įvykis A nepriklauso nuo įvykio B, jei įvyksta lygybė, t.y., jei įvykio B įvykimas nekeičia įvykio A tikimybės.
Jei įvykis A nepriklauso nuo B, tada galioja lygybė
Iš čia randame: tai įvykis B taip pat nepriklausomas nuo A. Taigi įvykių nepriklausomumo savybė yra abipusė.
Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai įvykiai A ir B taip pat yra nepriklausomi. Tiesa, nuo
Iš to darome svarbią išvadą: jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tai kas du įvykiai taip pat yra nepriklausomi.
Įvykių nepriklausomumo samprata vaidina reikšmingą vaidmenį tikimybių teorijoje ir jos taikymuose. Visų pirma, dauguma šiame vadove pateiktų rezultatų buvo gauti darant prielaidą, kad vienas ar kitas nagrinėjamas įvykis yra nepriklausomas.
Taigi, pavyzdžiui, aišku, kad vienos monetos herbo praradimas nekeičia herbo (uodegos) atsiradimo ant kitos monetos tikimybės, nebent šios monetos būtų sujungtos viena su kita metimo metu. (pavyzdžiui, jie nėra tvirtai pritvirtinti). Panašiai berniuko gimimas vienai mamai nekeičia tikimybės susilaukti berniuko (mergaitės) kitai mamai. Tai nepriklausomi renginiai.
Nepriklausomiems įvykiams daugybos teorema įgauna ypač paprastą formą, būtent, jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada
Dabar apibendriname dviejų įvykių nepriklausomybės sąvoką į kelių įvykių rinkinį.
Apibrėžimas 2. Įvykiai vadinami nepriklausomais visumoje, jei bet kuriam įvykiui iš jų ir savavališkais iš jų, ir yra vienas nuo kito nepriklausomi. Remiantis ankstesniu apibrėžimu, šis apibrėžimas yra lygiavertis: bet kuriam
Atkreipkite dėmesį, kad siekiant nepriklausomybės kelių įvykių visumoje, neužtenka, kad jie būtų nepriklausomi poromis. Tai galima pamatyti toliau pateiktame paprastame pavyzdyje.
Pavyzdys S.N. Bernsteinas. Įsivaizduokite, kad tetraedro veidai yra spalvoti: 1 - raudona (A), 2 - žalia (B), trečia - mėlyna (C) ir 4 - visos šios trys spalvos (ABC). Nesunku pastebėti, kad tikimybė numesti veidą, ant kurio metant krenta tetraedras ir turintis raudoną spalvą, lygi 1/2: yra keturi veidai ir du iš jų yra raudonos spalvos.
Taigi įvykiai A, B, C yra poromis nepriklausomi.
Tačiau jei žinome, kad įvykiai B ir C įvyko, tai įvykis A tikrai įvyko, t.y.
Taigi įvykiai A, B, C yra kolektyviai priklausomi. Taigi, bendru atveju, pagal apibrėžimą
(Tuo atveju, kai sąlyginė tikimybė lieka neapibrėžta.) Tai leidžia automatiškai perkelti visus šios dalies apibrėžimus ir rezultatus į bendrąją tikimybės sampratą.
komentuoti.Įvykio tikimybės apibrėžimas grindžiamas tam tikra sąlygų visuma. Jeigu skaičiuojant tikimybę nenustatyti jokie kiti apribojimai, išskyrus sąlygas, tai tokios tikimybės vadinamos besąlyginis. Tačiau kai kuriais atvejais būtina atsižvelgti į įvykių tikimybę su papildoma sąlyga, kad įvyko koks nors įvykis B.
1 apibrėžimas.Įvykio tikimybė BET, apskaičiuotas darant prielaidą, kad įvyko kitas įvykis AT, vadinamas sąlyginė tikimybė įvykius BET ir yra žymimas.
komentuoti. Griežtai tariant, besąlyginės tikimybės taip pat yra sąlyginės, nes sukonstruotos teorijos išeities taškas buvo prielaida, kad egzistuoja kažkokia nekintanti sąlygų visuma.
1 pavyzdys Mesti du kauliukai. Kokia tikimybė, kad jų taškų suma lygi 8 (įvykis A), jei žinoma, kad ši suma yra lyginis skaičius (įvykis B)?
Sprendimas. Sukurkite rezultatų erdvę, suraskite besąlyginę tikimybę ir sąlyginę tikimybę.
2 pavyzdys Iš kortų kaladės paeiliui ištraukiamos 2 kortos.
Rasti:
a) besąlyginė tikimybė, kad antroji korta bus tūzas (nežinoma, kuri korta išėjo pirmoji);
b) sąlyginė tikimybė, kad antroji korta bus tūzas, jei iš pradžių buvo ištrauktas tūzas.
Sprendimas. a) Pažymėkite A – įvykį, kurį sudaro tūzo pasirodymas antroje vietoje, B – įvykį, kurį sudaro tūzo pasirodymas pirmoje vietoje. Įvykis A gali būti pavaizduotas kaip . Dėl įvykių nesuderinamumo ir mes turime . Iš 36 kortų kaladės išimamas bendras dėklų skaičius yra 2 kortos (atrinkimas be pasikartojimų, atsižvelgiant į eilę!). Renginys turės palankių rezultatų, o renginys turės palankių rezultatų. Tada .
b) Jei pirmoji ištraukta korta yra tūzas, tai kaladėje liko 35 kortos ir tarp jų tik 3 tūzai. Vadinasi.
Bendras sąlyginės tikimybės radimo problemos sprendimas klasikiniam tikimybės apibrėžimui:
Leiskite iš vienintelių galimų, nesuderinamų ir vienodai tikėtinų įvykių , , …, įvykis A palankiai vertina m įvykius, įvykis B - k įvykiai, įvykis AB - r įvykiai (, ). Jei įvyko įvykis B, tai reiškia, kad įvyko vienas iš įvykių, palankių įvykiui B. Esant šiai sąlygai, įvykiui A palankus r ir tik r įvykių, palankių AB. Taigi. (vienas)
Panašiai, jei , tada . (vienas')
Jei B (atitinkamai, A) yra neįmanomas įvykis, tai lygybė (1) (atitinkamai (1')) praranda prasmę.
Kiekvienai lygybei (1) ir (1') yra lygiavertė vadinamajai tikimybių daugybos teoremai.
Tikimybių daugybos teorema.Įvykių A ir B sandaugos tikimybė yra lygi vieno iš šių įvykių tikimybės sandaugai su sąlygine kito įvykio tikimybe, su sąlyga, kad įvyko pirmasis: (2).
Įrodymastikimybių daugybos teoremos klasikinei atvejų schemai. Leiskite iš vienintelių galimų, nesuderinamų ir vienodai tikėtinų įvykių , , …, įvykis A palankiai vertina m įvykius, įvykis B - k įvykiai, įvykis AB - r įvykiai (, ). Tada , , а (iš bendro sąlyginės tikimybės radimo uždavinio sprendimo). Gautas tikimybes pakeitę į (2) formulę, gauname tapatybę. Teorema įrodyta.
komentuoti. Daugybos teorema galioja ir tuo atveju, kai vienas iš įvykių A arba B yra neįmanomas įvykis, kadangi šiuo atveju lygybės ir vyksta kartu su .
Pasekmė. Kelių priklausomų įvykių bendro įvykimo tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai iš visų kitų sąlyginių tikimybių, o kiekvieno paskesnio įvykio tikimybė apskaičiuojama darant prielaidą, kad visi ankstesni įvykiai jau pasirodė .
3 pavyzdys Dėžutėje yra 5 balti, 4 juodi ir 3 mėlyni kamuoliukai. Kiekvienas bandymas susideda iš vieno kamuoliuko ištraukimo atsitiktinai, negrąžinant jo į dėžę. Raskite tikimybę, kad per pirmąjį bandymą pasirodys baltas rutulys, antrame - juodas ir trečiasis - mėlynas.
Sprendimas. Tegul renginys BET- per pirmąjį bandymą pasirodys baltas rutulys, įvykis AT- antrojo bandymo metu pasirodys juodas rutulys; renginys Su- trečiojo bandymo metu pasirodys mėlynas rutulys. Tikimybė, kad per pirmąjį bandymą pasirodys baltas rutulys. Tikimybė, kad antrojo bandymo metu pasirodys juodas rutulys, apskaičiuojama darant prielaidą, kad baltas rutulys pasirodė per pirmąjį bandymą, tai yra sąlyginė tikimybė . Tikimybė, kad trečiajame bandyme pasirodys mėlynas rutulys, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmame bandyme pasirodė baltas rutulys, o antrajame – juodas: . Nuo įvykių A, B ir Su yra suderinami, tada norima tikimybė
2 apibrėžimas. Renginys BET paskambino nepriklausomas iš renginio AT jei įvykio tikimybė BET neatsižvelgiant į tai, ar įvykis įvyko AT arba ne:
(įvykio B įvykimas nekeičia įvykio A tikimybės).
3 apibrėžimas. Renginys BET paskambino priklausomas iš renginio AT jei įvykio tikimybė BET keičiasi priklausomai nuo įvykio AT arba ne.
1 pastaba. Jei įvykis A yra nepriklausomas nuo įvykio B, tada pagal (2) lygybė įvyksta Iš to išplaukia, kad , (4)
Tie. įvykis B taip pat nepriklausomas nuo A. Taigi, remiantis daroma prielaida, įvykių nepriklausomumo savybė yra abipusė.
2 pastaba.Įvykių nepriklausomumo samprata vaidina reikšmingą vaidmenį tikimybių teorijoje ir jos taikymuose. Praktiniuose dalykuose, norint nustatyti įvykių nepriklausomumą, retai remiamasi lygybių (3) ir (4) įvykdymu. Dažniausiai tam pasitelkiami intuityvūs, patirtimi pagrįsti samprotavimai (pavyzdys su moneta ir pan.). Nepriklausomiems įvykiams tikimybių daugybos teorema turi paprasčiausią formą.
Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi jų tikimybių sandaugai:
3 pastaba. Jei įvykių nepriklausomybę apibrėžia lygybė , tai šis apibrėžimas visada teisingas, įskaitant kada ir .
4 apibrėžimas. Renginiai, , …, vadinami kolektyviai nepriklausomi , jei bet kuriam įvykiui iš jų skaičiaus ir savavališkai , , …, yra vienas nuo kito nepriklausomi.
4 pastaba. Pagal 3 pastabą šis apibrėžimas atitinka toliau pateiktą.
4 apibrėžimas. Dėl bet kokių ir.
5 pastaba. Nepriklausomybei kelių įvykių visumoje nepakanka jų porinio nepriklausomumo.
Pavyzdys. Tetraedro veidai yra spalvoti: 1 - raudona, 2 - žalia, 3 - mėlyna, 4 - visomis šiomis 4 spalvomis (ABC). Nesunku pastebėti, kad tikimybė, kad veidas, ant kurio metant tetraedras krenta, yra raudonas, yra 0,5: yra 4 veidai, iš jų 2 yra raudonos spalvos. Tada . Panašiai galima apskaičiuoti
Taigi įvykiai A, B, C yra poromis nepriklausomi. Tačiau jei įvykiai B ir C įvyko kartu, tai įvykis A, t.y. . Todėl įvykiai A, B ir C yra bendrai priklausomi.
Tikimybių daugybos teoremos apibendrinimas savavališko baigtinio nepriklausomų įvykių skaičiaus atveju: .
4 pavyzdys Tikimybė, kad šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį, lygi . Šaulys paleido tris šūvius. Raskite tikimybę, kad jis pataikė tris kartus.
Sprendimas. Tegul renginys BET- šaulys pataikė į taikinį pirmuoju šūviu, įvykis AT- šaulys pataikė į taikinį antruoju šūviu; renginys Su– trečiuoju šūviu šaulys pataikė į taikinį. Šių įvykių tikimybės yra lygios viena kitai: . Kadangi tikimybė pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu nepriklauso nuo kitų šūvių rezultato, tai visi trys įvykiai yra nepriklausomi kartu, tada .
Pasekmė. (Teorema apie bent vieno iš nepriklausomų įvykių visumos atsiradimo tikimybę). Bent vieno iš nepriklausomų įvykių aibės įvykimo tikimybė A A
Dažnai gyvenime susiduriame su būtinybe įvertinti įvykio tikimybę. Ar verta pirkti loterijos bilietą ar ne, kokia bus trečio vaiko lytis šeimoje, ar rytoj bus giedras oras, ar vėl lietus – tokių pavyzdžių begalė. Paprasčiausiu atveju turėtumėte padalyti palankių rezultatų skaičių iš bendro įvykių skaičiaus. Jei loterijoje yra 10 laimėtų bilietų, o iš viso yra 50, tada tikimybė gauti prizą yra 10/50 = 0,2, tai yra 20 prieš 100. O kas, jei įvykiai yra keli ir jie yra glaudžiai susiję susijęs? Šiuo atveju mus domina nebe paprasta, o sąlyginė tikimybė. Kas yra ši vertė ir kaip ją galima apskaičiuoti - tai bus aptarta mūsų straipsnyje.
koncepcija
Sąlyginė tikimybė yra tam tikro įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad jau įvyko kitas susijęs įvykis. Apsvarstykite paprastą monetos mėtymo pavyzdį. Jei lygiosios dar nebuvo, tada tikimybė gauti galvas ar uodegas bus tokia pati. Bet jei penkis kartus iš eilės moneta gulėtų su herbu į viršų, sutikite 6, 7 ir juo labiau 10 kartoti tokį rezultatą būtų nelogiška. Su kiekvienu pasikartojančiu galvų kritimo laiku didėja tikimybė, kad atsiras uodegos ir anksčiau ar vėliau jos iškris.
Sąlyginės tikimybės formulė
Dabar išsiaiškinkime, kaip ši vertė apskaičiuojama. Pirmąjį įvykį pažymėkite B, o antrąjį - A. Jei B tikimybė nėra lygi nuliui, bus teisinga ši lygybė:
P (A | B) \u003d P (AB) / P (B), kur:
- P (A|B) - sąlyginė rezultato A tikimybė;
- P (AB) – įvykių A ir B bendro pasireiškimo tikimybė;
- P (B) - įvykio B tikimybė.
Šiek tiek pakeitę šį santykį, gauname P (AB) \u003d P (A | B) * P (B). Ir jei jį pritaikysite, galite gauti produkto formulę ir naudoti ją savavališkam įvykių skaičiui:
P (A 1, A 2, A 3, ... A p) \u003d P (A 1 | A 2 ... A p) * P (A 2 | A 3 ... A p) * P (A 3 | A 4 ... A p ) ... P (A p-1 | A p) * P (A p).
Praktika
Kad būtų lengviau suprasti, kaip skaičiuojamas sąlyginis, pažvelkime į keletą pavyzdžių. Tarkime, kad yra vaza, kurioje yra 8 šokoladai ir 7 mėtos. Jie yra vienodo dydžio ir du iš jų atsitiktinai ištraukiami paeiliui. Kokia tikimybė, kad jie abu bus šokoladiniai? Pristatykime žymėjimą. Tegul rezultatas A reiškia, kad pirmasis saldainis yra šokoladas, rezultatas B - antrasis saldainis yra šokoladas. Tada atsitiks taip:
P (A) \u003d P (B) \u003d 8 / 15,
P (A | B) \u003d P (B | A) \u003d 7 / 14 \u003d 1/2,
P (AB) \u003d 8/15 x 1/2 \u003d 4/15 ≈ 0,27
Panagrinėkime dar vieną atvejį. Tarkime, yra dviejų vaikų šeima ir žinome, kad bent vienas vaikas yra mergaitė.
Kokia sąlyginė tikimybė, kad šie tėvai dar neturi berniukų? Kaip ir ankstesniu atveju, pradedame nuo žymėjimo. Tegul P(B) yra tikimybė, kad šeimoje yra bent viena mergaitė, P(A|B) yra tikimybė, kad antrasis vaikas taip pat yra mergaitė, P(AB) yra tikimybė, kad šeimoje yra dvi mergaitės. šeima. Dabar atlikime skaičiavimus. Iš viso gali būti 4 skirtingi vaikų lyties deriniai ir šiuo atveju tik vienu atveju (kai šeimoje du berniukai) tarp vaikų nebus merginos. Todėl tikimybė P (B) = 3/4, o P (AB) = 1/4. Tada pagal formulę gauname:
P (A|B) = 1/4: 3/4 = 1/3.
Rezultatą galima interpretuoti taip: jei nežinotume vieno iš vaikų lyties, tai dviejų mergaičių tikimybė būtų 25 prieš 100. Bet kadangi žinome, kad vienas vaikas yra mergaitė, tikimybė, kad jų nėra. berniukų šeimoje padaugėja iki trečdalio.
Renginys. Elementarių įvykių erdvė. Tam tikras įvykis, neįmanomas įvykis. Bendri, nebendri renginiai. Lygiaverčiai įvykiai. Visa renginių grupė. Operacijos renginiuose.
Renginys yra reiškinys, apie kurį galima sakyti vyksta arba nevyksta, priklausomai nuo paties įvykio pobūdžio.
Pagal elementarūs įvykiai susietas su konkrečiu testu suprasti visus nesuskaidomus to testo rezultatus. Kiekvienas įvykis, kuris gali įvykti dėl šio testo, gali būti laikomas tam tikra elementariųjų įvykių visuma.
Elementarių įvykių erdvė vadinama savavališka aibe (baigtinė arba begalinė). Jo elementai yra taškai (elementarūs įvykiai). Elementariųjų įvykių erdvės poaibiai vadinami įvykiais.
tam tikras įvykis vadinamas įvykis, kuris dėl šio testo tikrai įvyks; (žymimas E).
Neįmanomas įvykisįvykiu vadinamas toks įvykis, kuris dėl tam tikro testo negali atsitikti; (žymimas U). Pavyzdžiui, vieno iš šešių taškų atsiradimas per vieną kauliuko metimą yra tam tikras įvykis, tačiau 8 taškų pasirodymas neįmanomas.
Du įvykiai vadinami Bendras(suderinamas) tam tikroje patirtyje, jei vieno iš jų išvaizda neatmeta kito pasirodymo.
Du įvykiai vadinami nesuderinamas(nesuderinami) tam tikrame bandyme, jei jie negali atsirasti kartu tame pačiame tyrime. Sakoma, kad keli įvykiai yra nesuderinami, jei jie yra nesuderinami poromis.
Formos pradžia
Formos pabaiga
| Įvykis yra reiškinys, apie kurį galima sakyti vyksta arba nevyksta, priklausomai nuo paties įvykio pobūdžio. Įvykiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis A, B, C, ... Bet koks įvykis įvyksta dėl bandymai. Pavyzdžiui, metame monetą – išbandymas, herbo atsiradimas yra įvykis; išimame lemputę iš dėžutės - bandymas, ji sugedusi - įvykis; atsitiktinai išimame kamuolį iš dėžės - bandymas, kamuolys pasirodė juodas - įvykis. Atsitiktinis įvykis yra įvykis, kuris gali atsitikti arba neatsitiksšio testo metu. Pavyzdžiui, atsitiktinai iš kaladės ištraukę vieną kortą, paėmėte tūzą; šaudydamas šaulys pataiko į taikinį. Tik tikimybių teorijos studijos masyvi atsitiktiniai įvykiai. Tam tikras įvykis yra įvykis, kuris, atlikus tam tikrą testą, tikrai įvyks; (žymimas E). Neįmanomas įvykis yra įvykis, kuris dėl tam tikro bandymo negali atsitikti; (žymimas U). Pavyzdžiui, vieno iš šešių taškų atsiradimas per vieną kauliuko metimą yra tam tikras įvykis, tačiau 8 taškų pasirodymas neįmanomas. Lygiaverčiai įvykiai yra tie įvykiai, kurių kiekvienas neturi išvaizdos pranašumų dažniau nei kitas atliekant daugybę bandymų, atliekamų tomis pačiomis sąlygomis. Poromis nesuderinami įvykiai yra įvykiai, kurių du negali vykti kartu. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra šiam įvykiui palankių įvykių skaičiaus ir visų vienodai galimų nesuderinamų įvykių skaičiaus santykis: P(A) = čia A yra įvykis; P(A) – įvykio tikimybė; N – bendras vienodai galimų ir nesuderinamų įvykių skaičius; N(A) yra įvykių, palankesnių įvykiui A, skaičius. Tai klasikinis atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimas. Klasikinis tikimybės apibrėžimas galioja testams su baigtiniu vienodai tikėtinų testo rezultatų skaičiumi. Tegul į taikinį buvo paleista n šūvių, iš kurių buvo m pataikymų. Santykis W(A) = vadinamas santykiniu statistiniu įvykio A dažniu. Todėl W(A) yra statistinio pataikymo dažnis. Atliekant šūvių seriją (1 lentelė), statistinis dažnis svyruos apie tam tikrą pastovų skaičių. Patartina šį skaičių vertinti kaip smūgio tikimybės įvertinimą. Įvykio tikimybė A yra tas nežinomas skaičius P, aplink kurį renkamos įvykio A statistinių dažnių reikšmės, padidėjus bandymų skaičiui. Tai statistinis atsitiktinio įvykio tikimybės žymėjimas. |
| Operacijos renginiuose |
| Pagal pagrindinius įvykius, susijusius su konkrečiu testu, supraskite visus nesuskaidomus šio testo rezultatus. Kiekvienas įvykis, kuris gali įvykti dėl šio testo, gali būti laikomas tam tikra elementariųjų įvykių visuma. Elementariųjų įvykių erdvė yra savavališka aibė (baigtinė arba begalinė). Jo elementai yra taškai (elementarūs įvykiai). Elementariųjų įvykių erdvės poaibiai vadinami įvykiais. Visi žinomi ryšiai ir operacijos su aibėmis perkeliamos į įvykius. Teigiama, kad įvykis A yra ypatingas įvykio B atvejis (arba B yra A rezultatas), jei aibė A yra B poaibis. Šis ryšys žymimas taip pat, kaip ir aibėms: A ⊂ B arba B ⊃ A. Taigi santykis A ⊂ B reiškia, kad visi elementarūs įvykiai, įtraukti į A, taip pat yra įtraukti į B, tai yra, įvykus įvykiui A, įvyksta ir įvykis B. Be to, jei A ⊂ B ir B ⊂ A, tada A = B. Įvykis A, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvykis A neįvyksta, vadinamas priešingu įvykiui A. Kadangi kiekviename bandyme įvyksta vienas ir tik vienas iš įvykių - A arba A, tai P(A) + P (A) = 1 arba P(A) = 1 − P(A). Įvykių A ir B sąjunga arba suma yra įvykis C, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta įvykis A arba įvykis B, arba A ir B įvyksta vienu metu. Tai žymima C = A ∪ B arba C = A + B. Įvykių A 1 , A 2 , ... A n sąjunga yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš šių įvykių. Įvykių sąjunga žymima kaip A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n , arba A k , arba A 1 + A 2 + ... + A n . Įvykių A ir B sankirta arba sandauga yra įvykis D, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvykiai A ir B įvyksta vienu metu, ir žymimas D = A ∩ B arba D = A × B. Įvykių A 1 derinys arba sandauga , A 2 , ... A n yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta ir įvykis A 1, ir įvykis A 2 ir kt., ir įvykis A n. Derinys žymimas taip: A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n arba A k , arba A 1 × A 2 × ... × A n . |
Tema numeris 2. Aksiominis tikimybės apibrėžimas. Klasikinis, statistinis, geometrinis įvykio tikimybės apibrėžimas. Tikimybių savybės. Tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremos. nepriklausomi renginiai. Sąlyginė tikimybė. Tikimybė, kad įvyks bent vienas iš įvykių. Bendrosios tikimybės formulė. Bayes formulė
Vadinamas skaitinis įvykio objektyvios galimybės laipsnio matas įvykio tikimybė. Šis apibrėžimas, kokybiškai atspindintis įvykio tikimybės sampratą, nėra matematinis. Kad taip būtų, būtina jį kokybiškai apibrėžti.
Pagal klasikinis apibrėžimas įvykio A tikimybė yra lygi jam palankių atvejų skaičiaus ir bendro atvejų skaičiaus santykiui, tai yra:
Kur P(A) yra įvykio A tikimybė.
A įvykiui palankių atvejų skaičius
Bendras bylų skaičius.
Statistinis tikimybės apibrėžimas:
Statistinė įvykio A tikimybė yra santykinis šio įvykio pasireiškimo dažnis atliekant bandymus, tai yra:
Kur yra įvykio A statistinė tikimybė.
Santykinis įvykio dažnis (dažnis) A.
Bandymų, kuriuose pasirodė įvykiai A, skaičius
Bendras bandymų skaičius.
Priešingai nei „matematinė“ tikimybė, laikoma klasikiniame apibrėžime, statistinė tikimybė yra eksperimentinio, eksperimentinio charakteristika.
Jei yra įvykiui A palankių atvejų dalis, kuri nustatoma tiesiogiai, be jokių bandymų, tai yra tų faktiškai atliktų bandymų, kuriuose atsirado A įvykis, dalis.
Geometrinis tikimybės apibrėžimas:
Geometrinė įvykio A tikimybė yra ploto, palankaus įvykio A įvykimui, ir visų sričių matavimo santykis, ty:
Vienmačiu atveju:
Būtina įvertinti tikimybę pataikyti į tašką CD/
Pasirodo, ši tikimybė nepriklauso nuo CD vietos atkarpoje AB, o priklauso tik nuo jos ilgio.
Tikimybė pataikyti į tašką nepriklauso nuo formų ar nuo B vietos A taške, o priklauso tik nuo šios atkarpos ploto.
Sąlyginė tikimybė
Tikimybė vadinama sąlyginis , jei jis apskaičiuojamas tam tikromis sąlygomis ir žymimas:
Tai yra įvykio A tikimybė. Ji apskaičiuojama su sąlyga, kad įvykis B jau įvyko.
Pavyzdys. Atliekame testą, iš kaladės ištraukiame dvi kortas: Pirmoji tikimybė yra besąlyginė.
Apskaičiuojame tikimybę iš kaladės ištraukti tūzo:
Apskaičiuojame 2-tūzo atsiradimą iš kaladės:
A*B – bendras įvykių atsiradimas
– tikimybių daugybos teorema
Pasekmė:
Daugybos teorema, skirta bendram įvykių pasireiškimui, yra tokia:
Tai yra, kiekviena paskesnė tikimybė apskaičiuojama atsižvelgiant į tai, kad visos ankstesnės sąlygos jau įvyko.
Renginio nepriklausomybė:
Du įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vieno įvykis neprieštarauja kito įvykimui.
Pavyzdžiui, jei tūzai traukiami pakartotinai iš kaladės, jie yra nepriklausomi vienas nuo kito. Vėlgi, tai yra, korta buvo peržiūrėta ir grąžinta atgal į kaladę.
Bendri ir nebendri renginiai:
Bendras 2 įvykiai vadinami, jei vieno iš jų atsiradimas neprieštarauja kito įvykimui.
Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema:
Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykio.
Trims bendriems renginiams:
Įvykiai vadinami nenuosekliais, jei dėl vieno atsitiktinio eksperimento bandymo negali atsirasti dviejų iš jų vienu metu.
Teorema: Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.
Įvykių sumos tikimybė:
Tikimybių sudėjimo teorema:
Baigtinio skaičiaus nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:
1 išvada:
Įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių suma lygi vienetui:
2 pasekmė:
Komentuoti: Reikia pabrėžti, kad nagrinėjama sudėjimo teorema taikoma tik nesuderinamiems įvykiams.
Priešingų įvykių tikimybė:
Priešingas vadinami du unikalūs galimi įvykiai, kurie sudaro visą grupę. Vienas iš dviejų priešingų įvykių žymimas BET, kitas - per .
Pavyzdys: pataikyti ir nepataikyti šaudant į taikinį yra priešingi įvykiai. Jei A yra pataikymas, vadinasi, praleista.
Teorema: Priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui:
1 pastaba: Jei vieno iš dviejų priešingų įvykių tikimybė žymima p, tai kito įvykio tikimybė žymima q Taigi, remiantis ankstesne teorema:
Užrašas 2: Sprendžiant uždavinius, siekiant rasti įvykio A tikimybę, dažnai pravartu pirmiausia apskaičiuoti įvykio tikimybę, o tada rasti norimą tikimybę naudojant formulę:
Tikimybė, kad įvyks bent vienas įvykis:
Darykime prielaidą, kad dėl eksperimento gali atsirasti tam tikra įvykio dalis arba jo nebūti.
Teorema: Bent vieno įvykio iš nepriklausomų įvykių aibės atsiradimo tikimybė yra lygi skirtumui tarp vienybės ir jų tikimybės, kad įvykiai neįvyks.